Scomposizione

Sia dato un polinomio P(x), ed un binomio divisore della forma (x-a), con a un numero reale qualsiasi.  Sia Q(x) il quoziente. Dalla relazione fondamentale della divisione possiamo dedurre :  

Quando R=0 si dice che il polinomio P(x) è divisibile per x-a  e la relazione precedente ci fornisce una sua scomposizione in fattori.
Il problema diventa allora quello di trovare i binomi del tipo x-a.
In questo ci aiutano il teorema di Ruffini ed il criterio di divisibilità già visti a suo tempo.

Si può procede nel seguente modo

1. Si determinano i divisori del termine noto p_i
2. Si determinano i divisori del coefficiente del termine di grado massimo q_i
3. Si trovano tutte le possibili frazioni p_i /q_i .Tra questi valori ci sono gli a cercati
4. Si applica il teorema del resto verificando per quali binomi del tipo x-a è divisibile P(x)
5. Dopo aver trovato un divisore si esegue la divisione utilizzando la regola di Ruffini
6. Se necessario si ripetono le operazioni fatte eliminando però i fattori x-a che non hanno dato esito positivo al primo tentativo

Esempio

Si vuole fattorizzare il polinomio

Seguiamo lo schema

i divisori del termine noto 6 sono ± 1, ± 2, ± 3, ± 6,

i divisori del coefficiente del termine di grado massimo 2 sono ± 1, ± 2,

le possibili frazioni sono ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 1/2, ± 3/2, di conseguenza i possibili divisori sono

Applichiamo il teorema del resto
e allora x-1 non è divisore
     e allora x-1 è divisore
allora il polinomio P(x) è divisibile per x+1

Eseguiamo la divisione utilizzando la Regola di Ruffini.

Ottenendo la scomposizione

Per procedere nella scomposizione in fattori , occorre ora operare sul trinomio .

Poiché nessuno dei procedimenti usuali per i trinomi è applicabile, si ripete su di esso il procedimento di Ruffini a partire dal punto 1.

I possibili divisori sono gli stessi del passaggio precedente, con esclusione di x-1 che aveva già dato esito negativo

Applichiamo il teorema del resto. 

 .........................................................................
Trovato un divisore ripetiamo allora la divisione ottenendo 

quindi complessivamente

Da notare che prova Q(-1) poteva anche essere evitata perché assegnando alla x un valore negativo tutti i termini del polinomio diventano positivi.

Teorema di Ruffini

Divisione tra polinomi: Teorema del resto Il valore che un polinomio in x a coefficienti reali P(x) assume sostituendo ad x il numero a reale è uguale al resto della divisione di P(x) per il binomio x-a. In particolare il polinomio è divisibile per x-a se e solo se p(a)=0. Dimostrazione Dato un polinomio P(x), ed un binomio (x-a), con a un numero reale qualsiasi, dalla relazione fondamentale della divisione possiamo dedurre : dove Q(x) rappresenta il quoziente ed R il resto, che dovendo essere di grado minore del divisore (x-a) sarà di grado 0, cioè non conterrà la variabile x. Poiché la relazione vale per ogni valore di x sostituendo la x con a si ottiene : Cioè la tesi. Teorema di Ruffini  Il teorema del resto ci permette di stabilire un importante criterio di divisibilità tra polinomi che è di verifica immediata : Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio P(x) sia divisibile per un binomio (x-a) è che P(a)=0. a viene anche detto zero del polinomio.  Criterio di Ruffini Sia il polinomio P(x) a coefficienti interi; allora se esiste un valore razionale p/q che sostituito ad x annulla il polinomio sarà : p divisore del termine noto q divisore del coefficiente del termine di grado massimo In particolare se il termine di grado massimo ha coefficiente unitario il valore che annulla il polinomio sarà un numero intero divisore del termine noto.