Sapere dalla rete: Teorema di Laplace

martedì 30 agosto 2011

Teorema di Laplace

Il teorema di Laplace, per la sua importanza, merità di essere trattato distintamente.

Teorema 45 La somma dei prodotti degli elementi di una linea di una matrice quadrata $A\in K^{n,n}$ per il loro rispettivo complemento algebrico è uguale al determinante di :

$\displaystyle det(A)=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik}=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj}\quad (\forall i,j=1,2,...,n)$

Più che una vera e propria dimostrazione, tenteremo di dare un'idea di essa.

Dimostrazione 34 Il determinante si può scrivere come

$\displaystyle det(A)=\prod_{k=1}^{n}a_{ji_{j}}$

Se $i_{1}=1$ allora

$\displaystyle det(A)=a_{11}[\sum (-1)^{r}\prod_{j=2}^{n}a_{ji_{j}}]+a_{12}[\sum (-1)^{r}\prod a_{ji_{j}}]+...$

Ma i termini in parentesi quadre, si verifica che coincidono con i complemento algebrici degli elementi anteposti ad ogni prodotto. Si verifica che la parità è comunque rispettata e pertanto il teorema è stato 'dimostrato'.

Il lettore capirà che sviluppare tale dimostrazione in maniera meno rigorosa è un grande risparmio di calcoli.

Corollario 2 La somma dei prodotti degli elementi di una linea per i complementi algebrici di un'altra linea è nulla:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}=\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kh}=0\quad (\forall i,j=1,2,...,n:i\neq j\neq h)$

Sapere dalla rete

martedì 30 agosto 2011

Teorema di Laplace

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