teorema di Lagrange

la dimostrazione algebrica ed il significato geometrico, con le conseguenze del teorema di Lagrange. Il significato geometrico che viene dato al teorema di Lagrange è di facile comprensione in quanto fa riferimento al concetto di tangente in un punto. Il teorema si riesce a dimostrare algebricamente facendo riferimento al teorema di Rolle, per cui la funzione di cui si parla risulta costante con derivata prima uguale a zero

Enunciato: data una funzione f(x) continua in un intervallo [a; b] chiuso e derivabile in (a; b) aperto, esisterà un punto x0 appartenente ad (a;b) tale che f ' (x0)=[f(b)-f(a)]/(b-a).

Dimostrazione algebrica: posto g(x)=f(x)-{f(a)+[(f(b)-f(a))/(b-a)]*(x-a)}, calcolando il valore g(x) quando x=a ed x=b, troveremo che g(a)=g(b)=0. Da tale relazione sapendo che la funzione g(x) è continua e derivabile in un punto e imposto che g(a)=g(b)=0, per il teorema di Rolle la funzione è costante con derivata prima uguale a zero. Quindi avremo g '(x)=f '(x0)-[f(b)-f(a)]/(b-a); ciò comporta che f '(x0)=[f(b)-f(a)]/(b-a). La tesi proposta nell'enunciato risulta quindi dimostrata.

Significato geometrico: il significato geometrico che viene dato al teorema di Lagrange è di facile comprensione in quanto fa riferimento al concetto di tangente in un punto. Se un arco di curva è dotato di tangente, esisterà un punto x0 dove la tangente è una retta parallela alla secante che congiunge i due estremi della funzione (o anche arco di curva) dato.

1° Corollario: se in tutto l'intervallo (a; b) si suppone f '(x0)=0, allora la funzione f(x0) è costante in (a; b).

Dimostrazione: prendiamo un qualsiasi punto x0 dell'intervallo (a; b) con x0¹a ed applichiamo il teorema di Lagrange alla funzione in questione nell'intervallo (a; x0). Si ha: [f(x0)-f(a)]/(x0-a)=f '(z) [2] con a

2° Corollario: se in un intervallo (a; b) la derivata f '(x) è sempre positiva, allora la funzione è crescente in tale intervallo; se invece è negativa, la funzione è decrescente.