Sapere dalla rete: Teorema di Weierstrass

Sia $f:[a,b] \to \R \!$ una funzione continua, allora $f(x) \!$ assume massimo e minimo nell'intervallo $[a,b] \!$ .

Dimostrazione con la nozione di compattezza

Poiché $f \!$ è una funzione continua, essa trasforma insiemi compatti in insiemi compatti. Dato che $[a,b] \!$ è un intervallo chiuso e limitato per il teorema di Heine-Borel, è un compatto e quindi anche la sua immagine mediante $f \!$ sarà un compatto. Di conseguenza, il codominio di $f \!$ ammetterà massimo e minimo.

[modifica] Dimostrazione con successioni di punti

Poniamo $s = \sup(f[a,b])$ e individuiamo una successione $y_n \in f[a,b]$ tale che $y_n \rightarrow s$ per $n \rightarrow \infty$ . Questa successione certamente esiste, infatti, se ciò non fosse vero nessuna successione convergerebbe ad

s

, in altre parole, per qualunque

y n

si avrebbe che $\exists \epsilon > 0 \; \forall m \in \mathbb{N} \; \exists n>m : |y_n-s|>\epsilon$ , e d'altra parte, essendo $y_n \in f([a,b])$ allora $\exists \tilde{x}\in[a,b]:f(\tilde{x})=y_n$ per cui avremmo $\exists \epsilon > 0 \; \exists \tilde{x} \in [a,b] : f(\tilde{x}) \ge s+\epsilon>s \; \lor \; f(\tilde{x}) \le s-\epsilon$ cioè $s\ne \sup(f[a,b])$ in contraddizione con le ipotesi.
Scegliamo, inoltre, una successione $t_n \in [a,b]$ tale che

f (t n) = y n

.
Per il teorema di Bolzano - Weierstrass

(t n)

ha una sottosuccessione $(t_{k_n})$ che converge verso $x_2 \in [a,b]$ .
Per la continuità di

f

abbiamo $y_{t_{k_n}}= f(t_{k_n})\rightarrow f(x_2)$ per $n \rightarrow \infty$ .
D'altra parte $y_{t_{k_n}} \to s$ per $n \rightarrow \infty$ .
Quindi per l'unicità del limite abbiamo

s = f (x 2)

, cioè la funzione ha in

x 2

un massimo assoluto.
Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto

x 1

dove la funzione assume il valore minimo.

Sapere dalla rete

martedì 30 agosto 2011

Teorema di Weierstrass

Dimostrazione con la nozione di compattezza

[modifica] Dimostrazione con successioni di punti

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